Fixed Point and Recursion

f(x) = x^2 – x + 1

f(1) = 1

f(f(1)) = 1

f(f(f(1))) = 1

f(f(f(f(1)))) = 1

f(f(f(f(f(1))))) = 1

………….

固定点、再帰しても再帰しても同じ値。

Lisp の Y コンビネーター。

BZ 反応の渦巻きの「目」。

See also : @wikipedia, Fixed point

2 thoughts on “Fixed Point and Recursion

  1. k

    m(. .)mこちらも凄いですm(. .)m

    単純な演算を繰り返しても発散しない値、というのは、マンデルブロ集合で黒く塗りつぶす場所と似ていますね。マンデルブロ集合は複素数の軸上ですが、こちらは実数軸上なのですね。

    —————————-

    調べたら、上の式の場合は、

    ① xが1のときと0のときだけ、f(x)=1となり、後はずっと1のままのようですね。

    そして、

    ② 0以下、および1以上の場合は、∞に発散、

    ③ 0から1の間の場合は、計算を繰り返す(再帰する)事により、徐々に(曲線的に、漸近的に、)1に近づいていくようです。多分、再帰を∞に繰り返しても、0.9999・・・・となり、1にはならないような感じです。
      そして、0や1に近い方が、1に近づく早さは早い。

    —————————-

    不思議な感じですm(. .)m

    —————————-

    ちなみに、上の式の場合は、実数の解がなく、

    -(√3i-1)/2 と (√3i+1)/2 が解のようですね。

    Reply
  2. k

    m(. .)m

    違うかもしれませんが、複雑系の本を読んでいたら、

    (1)流体や公転する惑星の軌道を見ると安定点(確か安定点だったと思う、固定点とか、違う名称だったらすみません、)というものがあり、

    (2)その安定点は、
      ①お椀の底のような、周囲が「安定な」、安定点と、
      ②馬の鞍の上のような、周囲が「不安定な」安定点

     がある、というのを見ました。
     ①は周囲が穏やか、②は周りが風がびゅーびゅー吹いている。

    上の式の場合、
    x=0と、x=1が固定点で、0から1の間は穏やか、0以下と1以上はどんどん発散、と言う感じがします。

    渦の場合は、固定点の周りが、渦状にぐるぐる回っている、という絵が、とても不思議な感じがします。

    古典的な式(水理学とか)の集まりだと、あんな動的な状態なんて表現できないような気がしますm(. .)m

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