違うかもしれませんが、複雑系の本を読んでいたら、

（１）流体や公転する惑星の軌道を見ると安定点（確か安定点だったと思う、固定点とか、違う名称だったらすみません、）というものがあり、

（２）その安定点は、
　　①お椀の底のような、周囲が「安定な」、安定点と、
　　②馬の鞍の上のような、周囲が「不安定な」安定点

　がある、というのを見ました。
　①は周囲が穏やか、②は周りが風がびゅーびゅー吹いている。

上の式の場合、
ｘ＝０と、ｘ＝１が固定点で、０から1の間は穏やか、０以下と1以上はどんどん発散、と言う感じがします。

渦の場合は、固定点の周りが、渦状にぐるぐる回っている、という絵が、とても不思議な感じがします。

古典的な式（水理学とか）の集まりだと、あんな動的な状態なんて表現できないような気がしますm(. .)m

単純な演算を繰り返しても発散しない値、というのは、マンデルブロ集合で黒く塗りつぶす場所と似ていますね。マンデルブロ集合は複素数の軸上ですが、こちらは実数軸上なのですね。

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調べたら、上の式の場合は、

①　ｘが１のときと０のときだけ、ｆ（ｘ）＝１となり、後はずっと１のままのようですね。

そして、

②　０以下、および１以上の場合は、∞に発散、

③　０から１の間の場合は、計算を繰り返す（再帰する）事により、徐々に（曲線的に、漸近的に、）１に近づいていくようです。多分、再帰を∞に繰り返しても、0.9999・・・・となり、1にはならないような感じです。
　　そして、０や１に近い方が、１に近づく早さは早い。

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不思議な感じですm(. .)m

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ちなみに、上の式の場合は、実数の解がなく、

－(√３i－1)/2　と　(√３i＋1)/2　が解のようですね。